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Cylindre sous pression interne

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Pour calculer la contrainte circonférentielle σ, on considère un élément de longueur L isolé du reste du cylindre.

Le schéma de corps libre de la moitié de cet élément est représenté par la figure suivante :

 Soit un cylindre, de longueur « L », sous pression. On considère sa moitié isolée obtenue par une coupe fictive par un plan passant par l'axe de révolution est représenté par la figure suivante :

 

Cette figure montre aussi les contraintes σ dans une section longitudinale.

la pression "P" est supposée constante sur toute la paroi.

L'épaisseur de la paroi est notée par "e"

le rayon interne est noté "r"

 

Lorsqu'on isole le demi cylindre, et on le considère en équilibre, alors le PFS donne

 

Or les forces appliquées au demi cylindre sont :

 

  • La forces exercée par l'autre moitié est décrite par :

avec S la section de paroi ;

S = e.L

 

  • et la somme des forces due à la pression P exercé par le fluide sur l'élément de surface dSp qui peut être décrite par

    or

La pression P est appliquées perpendiculairement à la paroi selon . Cette paroi est circulaire et symétrique par rapport à l'axe ; donc les composantes selon l'axe vont s'annuler symétriquement.

Ce ci peut se traduire mathématiquement par l'équation suivante :

 

or

 

Or la fonction « cos » est symétrique donc son intégrale entre 0 et π est nulle.

 

Donc on peut écrire

donc

Finalement

(1)

 

Condition de résistance :

 

 

avec « Rpe » la limite pratique à l'élasticité

 

« Re »est la limite d'élasticité

 

« s » est un coefficient de sécurité qui dépend de l'application de la pièce.

 

 

 

Calcul de la déformation :

L'élément de longueur « dl » du périmètre du cercle est

cet élément de longueur subit une contrainte due à la pression.

Or on sait d'après le calcul en traction que

E : module d"élasticité

soit l'allongement que subit

donc

 

donc

 

comme d'après (1)

 

donc

donc l'allongement du périmètre est

 

 

Finalement     la déformation du périmètre est

 

 

"

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